文章目录一. 谓词逻辑相关概念1. 个体词2. 谓词3. 量词( 1 ) 全称量词( 2 ) 存在量词二. 命题符号化 技巧1. 两个基本公式 ( 重要 )( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体2. 命题符号化技巧( 1 ) 命题符号化方法( 2 ) 解题技巧( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法3. 谓词公式定义三. 命题符号化 习题1. 简单量词 示例( 1 ) 全称量词示例( 2 ) 全称量词 示例 2( 3 ) 存在 量词 示例2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同3. 带 或者 的 命题符号化( 1 ) 带 或者 的 命题符号化( 2 ) 带 或者的 命题 示例 24. 复杂命题 示例( 1 ) 复杂命题的符号化( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析( 3 ) 当且仅当 转化问题( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化一. 谓词逻辑相关概念1. 个体词个体 简介 :
1.个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词 与 谓词 的 概念 ;2.个体 概念 : 将 独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体 或 个体词 ;3.个体 变元 : 使用 a,b,c 表示个体变元 ;
4.个体 常元 : 使用 x, y, z 表示个体常元 ;
5.个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;6.个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合 或 无穷集合 ;7.全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;
谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;
2. 谓词谓词 简介 :
1.谓词概念 : 将表示 个体性质 或 彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;2.谓词表示 : 使用 F, G, H 表示谓词 常元 或 变元 ;
3.个体性质谓词表示 : F(x) 表示
x 具有 性质
F , 如
F(x) 表示
x 是黑的 ;
4.关系性质谓词表示示例 : F(x, y) 表示
x, y 具有 关系 F , 如 :
FG(x, y) 表示
x 大于
y ;
3. 量词( 1 ) 全称量词全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;
1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;2.表示方式 : 使用符号 \forall 表示 ;
3.解读1 : \forall x 表示个体域中 所有的
x ;
4.解读2 : \forall x( F(x) ) 表示 , 个体域中所有的
x 都具有性质
F ;
( 2 ) 存在量词存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;
1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;2.表示方式 : 使用符号 \exist 表示 ;
3.解读1 : \exist x 表示个体域中 存在着的
x ;
4.解读2 : \exist x( F(x) ) 表示 , 个体域中 存在
x 具有性质
F ;
二. 命题符号化 技巧1. 两个基本公式 ( 重要 )( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G个体域中 所有 有性质
F 的 个体 , 都 具有 性质
G ;
使用谓词逻辑如下表示 :
①
F(x) :
x 具有性质
F ;
②
G(x) :
x 具有性质
G ;
③ 命题符号化为 :
\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体个体域 中 存在有性质
F 同时有性质
G 的个体 ;
使用谓词逻辑如下表示 :
①
F(x) :
x 具有性质
F ;
②
G(x) :
x 具有性质
G ;
③ 命题符号化为 :
\exist x ( F(x) \land G(x) )2. 命题符号化技巧( 1 ) 命题符号化方法命题符号化方法 :
1.写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明 \forall x , 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;
2.写出性质个关系 谓词 : 使用 F , G , H 表明 个体的 性质 或 关系 ;
3.命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;( 2 ) 解题技巧由 全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑
F(x) 或
G(x, y) 部件 再次进行组合 ;
如下 谓词逻辑 :
\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))其中
\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ) 是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件
A , 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :
\forall x (F(x) \rightarrow A)因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的
\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法 当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :
当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;
2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
① 对于所有的
x 与 存在的一个
y 有 某种性质或关系 ,
② 对于所有的
x 和 所有的
z 存在某种性质或关系 ;
③
y 与
z 具有相等的属性 ;
3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
① 对于所有的
x 与 存在的一个
y 有 某种性质或关系 ,
②
y 与 所有的
z 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
③ 可以推出
x 和
z 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;
3. 谓词公式定义谓词公式定义 :
1.原始谓词公式 : n 元 谓词 是一个 谓词公式 ;
2.否定式 : 如果 A 是谓词公式 , 那么
(\lnot A) 也是谓词公式 ;
3.两个谓词公式 组合 : 如果 A, B 是谓词公式 , 那么
(A \land B) , (A \lor B), (A \rightarrow B), (A \leftrightarrow B) 四种联结词 组合成的符号, 也是谓词公式 ;
4.谓词公式 与 量词 组合 : 如果 A 是谓词公式 , 且含有 个体变元
x , 且
x 没有被量词限制 , 那么
\forall x A(x) , 或
\exist x A(x) 也是谓词公式 ;
5.有限次重复 : 有限次 对 谓词公式 使用 1. ~ 4. 方法进行处理 得到的 也是 谓词公式 ; 谓词公式拼装 :
1> 经过若干次 拼装 组合好 的谓词公式 , 或者 刚写出的 单个 谓词公式 , 可以 作为原始 谓词公式
S ;
2> 在 原始谓词公式
S 前 加上
\lnot 也是谓词公式 , 注意外部带上括号 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式
S 使用 )
3> 使用 联结词 将 两个 原始谓词公式
S 连接起来 , 整个 组合 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式
S 使用 )
4> 在 原始谓词公式
S 前 加上 量词约束
\forall x A(x) , 或
\exist x A(x) , 组合后 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式
S 使用 ) ( 注意 前提 : 加入量词约束的 个体词 不能被 已有量词约束 )
4> 步骤 的 注意点 :
① 前提 : 该谓词中的个体 , 没有被量词约束 , 如果有 不能重复约束 ;
三. 命题符号化 习题1. 简单量词 示例( 1 ) 全称量词示例题目 :
1.要求 : 命题符号化 :2.命题内容 : 人都吃饭 ;① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1> F(x) :
x 是人 ;
2> G(x) :
x 吃饭 ;
③ 命题符号化 :
\forall x (F(x) \rightarrow G(x))( 2 ) 全称量词 示例 2题目 :
1.要求 : 命题符号化 :2.命题内容 : 某班级所有学生都学过微积分 ;① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1> F(x) :
x 是某班级的学生 ;
2> G(x) :
x 学过微积分 ;
③ 命题符号化 :
\forall x (F(x) \rightarrow G(x))( 3 ) 存在 量词 示例题目 :
1.要求 : 命题符号化 :2.命题内容 : 有人喜欢吃糖 ;解答 :
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1> F(x) :
x 是人 ;
2> G(x) :
x 喜欢吃糖 ;
③ 命题符号化 :
\exist x (F(x) \land G(x))另外一种符号化方法 : 将糖也堪称一个个体 :
① 个体域 : 全总个体域
② 谓词 : 性质/关系 定义 :
F(x) 表示
x 是人
G(y) 表示
y 是糖
H(x, y) 表示
x 喜欢吃
y③ 命题符号化 :
\exist x (F(x) \land G(x) \land H(x, y))2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同题目 :
1.要求 : 命题符号化 :2.命题内容 : 男人都比女人跑得快 ;1> 方式 一 :
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1> F(x) :
x 是男人 ;
2> G(y) :
y 是女人 ;
3> H(x,y) :
x 比
y 跑得快 ;
③ 命题符号化 :
\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))该命题符号有等价形式 :
\forall x \forall y (F(x) \land G(y) \rightarrow H(x,y) )) 这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;
符号化分析 :
① 将
\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ) 独立分析 , 首先 整个 命题都处于
\forall x 作用域中 , 这里 有如下属性 , 所有的女人 , 所有的男人比女人跑的快 ; 将其看做一个独立的命题
A ;
② 下面分析
∀x(F(x)→ A) , 对于所有的男人 来说 , 只要是男人 , 都有 命题
A 的性质 ;
2> 方式 二 :
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1> F(x) :
x 是男人 ;
2> G(x) :
x 是女人 ;
3> H(x,y) :
x 比
y 跑得快 ;
③ 命题符号化 :
\forall x \forall y (F(x) \land G(x) \rightarrow H(x,y)) 这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;
符号化分析 :
将
F(x) \land G(x) 看做一个整体
A , 即
x 是男人 ,
y 是女人 , 针对所有的
x, y 有性质
A , 那么
x, y 同时又有性质 或 关系
H(x,y) ;
3. 带 或者 的 命题符号化( 1 ) 带 或者 的 命题符号化题目 :
1.要求 : 命题符号化 :2.命题内容 : 某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友;解答 :
① 个体域 : 某班级的所有学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x) :
x 有一台电脑 ;
2> G(x, y) :
x 和
y 是朋友 ;
③ 命题符号 :
\forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) ) 解析 :
1> 个体域定义 : 个体域 定为 “某班级中的所有学生” ;
2> 最外层量词确定 : 其都具有性质 “某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友” , 因此 最外层必须是 全称量词
\forall x (A(x)) , 下面开始分析其中的
A(x) ;
3> 两个性质之间是 或者 的关系 : 两个性质使用
\lor 进行连接 , 分别是
B(x) ( “有一台电脑” ) 和
C(x) ( “有一个拥有电脑的朋友” ) , 当前符号 :
\forall x (B(x) \land C(x)) ;
4> “有一台电脑” : 表示成
F(x) ; 当前符号 :
\forall x (F(x) \land C(x)) ;
5> “有一个有电脑的朋友” ( 这个比较复杂 ) :
① 首先 要虚构 一个 学生
y , 这个
y 代表那个有电脑的朋友 ;
② 再确定量词 : "有一个" 显然是存在量词
\exist y ( 如果用全称量词的话 , 那班级所有人都是他的朋友 ) ;
③ 对这个 虚构的
y 的要求是 ,
y 同时满足两个条件 , “a. 有电脑” “b.
x,y 是朋友” , 因此使用
\land 将其连接起来 , 最终表示成
F(y) \land G(x , y) ;
④ 本句的符号为 :
\exist y ( F(y) \land G(x , y) ) ;
6> 最终符号为 :
\forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) ) ;
( 2 ) 带 或者的 命题 示例 2命题符号化 :
某班级中 每个 学生 或者 去过 北京 , 或者去过 上海
解答 :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 某班级全体学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x) :
x 去过北京;
2> G(x) :
x 去过上海;
③ 命题符号 :
\forall x ( F(x) \lor G(x)) 解析 :
1> 个体域 量词 分析 :
\forall x 指的是 某班级全体 学生 中的 每一个 , 所有的 学生 ;
2>
F(x) \lor G(x) 解读 : 表示
x 去过 北京 或者 去过 上海 ;
3>
\forall x ( F(x) \lor G(x)) 解读 : 所有的学生 , 要么去过北京 , 要么去过上海 , 二者必选其一 , 且 只能选其一 ;
4. 复杂命题 示例( 1 ) 复杂命题的符号化题目 :
1.要求 : 命题符号化 :2.命题内容 : 存在一个学生 x, 对所有不同的两个学生
y 和
z 来说 , 如果
x 与
y 是好朋友 , 并且
x 和
z 也是好朋友 , 那么
y 和
z 不是好朋友;
题目分析 :
1.个体域分析 : 命题中涉及到的个体都是 学生 , 那么 将 个体域 设置为 全体学生 ;2.性质和关系分析 : ① “对所有不同的两个学生” : 涉及到了 两个不同的学生 , 因此需要 定义一个 谓词 , 表示 两个学生是 不同的 或 相同的 ;② "x 与
y 是好朋友" : 涉及到 两个 学生 是 或者 不是 好朋友 , 因此 这里需要定义一个谓词 , 表示 两个学生 是 或者 不是 好朋友 ;
3.主题框架分析 : ① 量词约束 : " 存在一个学生 x, 对所有不同的两个学生
y 和
z 来说 " 可以写出 最外围 的 量词约束 ,
\exist x \forall y \forall z , 然后在对
x, y , z 之间的关系进行描述 ;
② "如果 x 与
y 是好朋友 , 并且
x 和
z 也是好朋友 , 那么
y 和
z 不是好朋友; " : 这个命题 可以用 蕴涵 联结词 进行表示 ;
a> 命题 A : "如果
x 与
y 是好朋友 , 并且
x 和
z 也是好朋友" ,
b> 命题 B : "那么
y 和
z 不是好朋友" ;
c> 命题 A,B 的关系 :
A \rightarrow B ;
解答 :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 全体学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x, y) :
x 和
y 是好朋友;
2> G(x, y) :
x 和
y 是相同的 ;
③ 命题符号 :
\exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) ) 解析 :
1> 量词分析 :
\exist x \forall y \forall z 对应了 题目中的 "存在一个学生
x, 对所有不同的两个学生
y 和
z 来说"
2>
( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) 分析 : 该句对应了 “不同的两个学生
y 和
z 来说 , 如果
x 与
y 是好朋友 , 并且
x 和
z 也是好朋友” 同时满足 这 三个条件 ;
3>
\lnot F(y, z) 分析 : 对应了结果 “那么
y 和
z 不是好朋友” ;
4> 同时满足 3 条件 然后退出结果 :
( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) ;
5> 加上量词约束 得到最终结果 :
\exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) ) ;
( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析题目 :
1.要求 : 命题符号化 :2.命题内容 : 某班级中 有些学生去过 北京解答 :
( 1 ) 方法 一 ( 个体域 为 某班级全体学生 ) :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 某班级全体学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x) :
x 去过北京;
③ 命题符号 :
\exist x ( F(x) ) 解析 : 直接写出即可 , 有些学生 , 使用 存在量词
\exist x 表示 ,
\exist x( F(x) ) 表示 有些学生去过 北京 ;
( 1 ) 方法 二 ( 个体域 为 全总个体域 ) :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 全总个体域
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x) :
x 去过北京;
2> G(x) :
x 是某班级的学生;
③ 命题符号 :
\exist x ( F(x) \land G(x)) 解析 :
\exist x ( F(x) \land G(x))
1> 个体域分析 : 个体域 为 全总个体域 , 那么
\exist x 就是 存在某个事物 , 这个事物属性是宇宙间的一些事物 ;
2>
F(x) \land G(x) : 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;
3> 完整解读 :
\exist x ( F(x) \land G(x)) , 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;
( 3 ) 当且仅当 转化问题题目 :
1.要求 : 命题符号化 :2.命题内容 : 每个人有且只有一个好朋友解答 :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 所有的人
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x , y) :
x , y 是好朋友;
2> G(x, y) :
x , y 相等;
③ 命题符号 一 :
\forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land \lnot G(y, z) ) \rightarrow \lnot F(x,z) ) 解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 此处
x ,y 已经是好朋友了 , 如果出现一个
z 与
y 不相等 , 那么
x,z 一定不是好朋友 ;
量词分析 :
对于所有的
x , 存在一个
y 是他的朋友 , 所有的
z 与
x 是好朋友 , 那么 这个
z 就是
y ;
④ 命题符号二 :
\forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow G(y,z) ) 解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 如果
x,y 是好朋友 ,
x,z 是好朋友 , 那么
y,z 肯定相等 ;
量词分析 :
对于所有的
x , 存在一个
y 是他的朋友 , 所有的
z 与
x 是好朋友 , 那么 这个
z 就是
y ;
当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :
当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;
2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
① 对于所有的
x 与 存在的一个
y 有 某种性质或关系 ,
② 对于所有的
x 和 所有的
z 存在某种性质或关系 ;
③
y 与
z 具有相等的属性 ;
3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
① 对于所有的
x 与 存在的一个
y 有 某种性质或关系 ,
②
y 与 所有的
z 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
③ 可以推出
x 和
z 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;
( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化题目 :
1.要求 : 命题符号化 :2.命题内容 : 并非所有的动物都是猫解答 :
命题符号化 结果 ( 全程量词 ) : 该方式 属于 正面解答 ;
① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x) :
x 是 动物;
2> G(x) :
x 是 猫;
③ 命题符号 一 :
\lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) ) 解析 : 命题是 “并非所有的动物都是猫” , 这里我们开始拆解命题 :
1> 提取否定 : 把并非提取出来 为
\lnot , 否定的命题是 “并非所有的动物都是猫” ;
2> 写出 “并非所有的动物都是猫” 命题 : 即 凡是具有动物性质的事物 , 都具有 是 猫 的性质 , 这里符号化为
\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) ;
3> 最终结果 :
\lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) ) ;
命题符号化 结果 ( 存在量词 ) : 该方式 属于 侧面回答 ;
转化命题 : 存在有的动物 不是猫 ;
① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x) :
x 是 动物;
2> G(x) :
x 是 猫;
③ 命题符号 一 :
\exist x ( F(x) \land \lnot G(x) )
\exist x ( F(x) \land \lnot G(x) ) 解析 : 存在某个事物 , 其满足是动物的性质 , 同时满足 其不是猫 的性质 ;